Każda liczba zespolona składa się z dwóch części: z części rzeczywistej oraz tzw. części urojonej . Liczbę zespoloną, zatem można interpretować jako zwykłą parę liczb, na przykład: (5, 6). Taka oto liczba ma część rzeczywistą o wartości 5, oraz urojoną: 6.

Odwzorowania liniowe to odwzorowania przestrzeni wektorowych (liniowych) o bardzo szczególnych własnościach, które na pierwszy rzut oka mogą wydawać się zbyt wysublimowane, aby były przydatne. Okazuje się jednak, że tak nie jest - przykładem może być rózniczka odwzorowania wielu zmiennych.

Formy liniowe to nie abstrakcyjne funkcje stworzone przez algebraików, aby przekaształcić przestrzeń wektorową w ciało liczbowe. Są one przede wszystkim kojarzone z formami wieloliniowymi, które mają bardzo charakterystyczne własności. Jednak pojęcie to jest szersze - wiąże się z także przestrzeniami dualnymi.

Macierze należą do tych tworów algebry liniowej, które mają najszersze zastosowanie. Używa się w ich zarówno w informatyce, fizyce, równaniach rózniczkowych, teorii funkcji wielu zmiennych. Są silnie powiązane z odwzorowaniami liniowymi oraz zmianami baz w przestrzeniach wektorwych, a ich własności wcale nie są banalne.

Niby każdy wie, jak rozwiązuje się układy równań liniowych. Jednak w przypadku dziesięciu równań z dwunastoma niewiadomymi, przydałaby się jakaś praktyczna metoda, która daje szybsze efekty niż klasyczna metoda podstawiania lub przeciwnych współczynników.

Czym są punkty każdy wie, ale nie każdy potrafi w sposób właściwy na nich operować, zwłaszcza, że punktem może być funkcja. Pojęcie prostej afiniczna nie jest potrzebne w życiu codziennym, ale prawdziwy matematyk nie zdziwi się np. prostą wielomianów.

Jeżeli przyjdzie nam działać na dużych macierzach, najlepiej aby miały one postać diagonalną. Warto wiedzieć kiedy macierz jest diagonalizowalna i w jaki sposób doprowadzić ją do tej postaci. Niezwykle ważna jest też postać Jordana macierzy wykorzystywana m.in. przy układach równań różniczkowych.

Formy kwadratowe są generowane przez formy dwuliniowe symetryczne. Wiążą się one z pojęciem iloczynu wektorowego, ortogonalności wektorów oraz kąta pomiędzy wektorami.